ארנון אברון, ספריית
האוניברסיטה המשודרת.
פורסם במוסף "ספרים", הארץ, 12.8.98
ליאו קורי
מבין כל המדענים,
מתמטיקאים הם אלה המוצאים את עצמם בקושי הגדול ביותר להציג בפני הקהל הרחב את
הבעיות המעסיקות אותם בעבודתם היומיומית, ואת התוצאות החשובות שהושגו במשך השנים
בתחום עיסוקם. יש מתמטיקאים רבים הרואים בכך משימה חסרת סיכוי, ולעיתים אף חסרת
שחר. למעשה המתמטיקאי חש את הקושי לא רק כלפי הקהל הרחב ממש אלא גם כלפי עמיתים
מתחומי מדע אחרים, ולעיתים אפילו כלפי עמיתים מתמטיקאים העוסקים בתחום מחקר שונה
בתוך המתמטיקה עצמה.
אולם אין בקושי הזה
כדי ליצור רתיעה מוחלטת מפני הרצון לבשר לעולם על הנעשה בחדרים האפלים של מגדל השן
המתמטי, וכך אנו פוגשים ניסיונות בודדים, וללא ספק אמיצים, למה שניתן לכנות
"פופולריזציה" של המתמטיקה. אחד הנושאים שזכה לתשומת הלב המרובה ביותר
במסגרת ניסיונות מעין אלה בשנים האחרונות קשור בסדרה של משפטים שנוסחו והוכחו
בשנות השלושים של המאה העשרים ע"י המתמטיקאי האוסטרי קורט גדל (Kurt Gödel 1906-1978). כך למשל, הספר Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid"" שפורסם ב1979-
ע"י דוגלס הופשטטר, ועוד שני ספרים מאת רוג'ר פנרוז, שנוגעים אמנם בסוגיות
רחבות יותר אך מעמידים את משפטי גדל ומשמעותם במרכז הדיון: "The Emperor’s New Mind" (1989) ו-"Shadows of the Mind" (1994).
על אף האופי האזוטרי
משהו של הנושאים המובאים בספרים אלה, הם הפכו לרבי-מכר בקנה מידה עולמי. מובן שאיש
אינו יודע עד כמה הקונים גם קראו אותם ולא כל שכן עד כמה הם הצליחו להתמודד בהצלחה
עם תוכנם הקשה של הספרים, אך עצם ההתעניינות של קהל רחב כל כך בהם ראויה לציון
ולתהייה (וגם לברכה). את ההתעניינות הזו ניתן לייחס, בין היתר, לעובדה שמשפטי גדל
מובילים בדרכים מאירות עיניים לשאלות המטרידות אנשים רבים, גם כאלה שעיסוקם אינו
במתמטיקה: מהו מקור הידע האנושי, ובפרט של הידע המתמטי? האם יש גבולות ליכולת הידע
הזה? האם מכונה תוכל אי-פעם לחשוב בדומה לבני אדם? ועוד סוגיות דומות. משפטי גדל
לא נותנים תשובה ישירה וחד-משמעית לשאלות אלה. ההיפך הוא הנכון: לאחר פרסומם נפתח
זרם עז של פרשנויות מפרשנויות שונות ומנוגדות באשר להשלכותיהם האמיתיות. אולם מעבר
למחלוקות קיימת הסכמה רחבה על כך שהם שינו מן היסוד את כל הדיון סביב שאלות של ידע
והכרה (ברמה הפילוסופית, הפסיכולוגית, והביולוגית) ושלא ניתן היום לקיים דיון כזה
ללא היכרות מקרוב עימם או ללא התייחסות אליהם.
בניסוח מאוד לא
מדויק, ניתן לומר שעניינם של משפטי גדל הוא במגבלות הפנימיות של מערכות ההיסק
המתמטי. מתוך משפטי גדל אנו למדים, למשל (וזאת אחת ההפתעות הגדולות הטמונות בהם),
שבתורות מתמטיות "מספיק מעניינות" (ומשפטי גדל קובעים גם פירוש מדויק
לביטוי הזה) קיימות טענות "אמיתיות" שאינן "יכיחות" (דהיינו
שלא ניתן להוכיחן). כמו כן, אנו למדים שקיימות "טענות כוללות" אודות
תורות מתמטיות מעין אלה (למשל, שהן אינן מכילות סתירות לוגיות פנימיות) שלא ניתן
להוכיחן באמצעות חוקי היסק לוגי "סופיים" (וגם ביטוי זה זקוק להסבר
מפורש הרבה יותר, אך משפטי גדל מנוסחים בלשון המדויקת הדרושה לצורך זה).
אולי די בתיאור הקצר
והלא-מדויק הזה כדי לרמוז לסיבות מדוע משפטי גדל מעוררים עניין כה רב גם מעבר לחוג
הסגור והקטן יחסית של חוקרי הלוגיקה המתמטית. הבנתם המדוייקת של המשפטים, על כל
פנים, דורשת לימוד שיטתי ומעמיק; לאו דווקא ידע מתמטי רב כתנאי מוקדם, אך בהחלט
יכולת הפשטה גבוהה. קיימים, כאמור, כמה ספרים שנועדו להסביר לקהל הרחב את תוכן
המשפטים ואת השלכותיהם, ובכל זאת, ספרו החדש של ארנון אברון מהווה תוספת מבורכת
וחשובה למען אלה המבקשים לעשות את הדרך הקשה ולהבין את הנושא לעומקו. אברון מציע
בספרו מסלול כניסה מובנה היטב, ועל כן נח יחסית, המרפד במשהו את המשך הדרך הזו.
עובדת היותו הראשון לעשות זאת בשפה העברית היא רק אחת ממעלותיו של הספר, והיא
ראויה לציון בפני עצמה.
אברון לא עוסק בספרו במשנתם של פרשנים המבקשים
לגזור מסקנה פילוסופית זו או אחרת מתוך המשפטים. אופיו של הספר גם אינו מאפשר
להביא בפני הקורא באופן מפורט את הוכחת המשפטים, אך הוא בהחלט מציג במידה מתאימה
את היסודות שלהן. אברון מציג את משפטי גדל כנקודת שיא של דיון חשוב מאוד שהתנהל
בשליש הראשון של המאה הנוכחית אודות "יסודות המתמטיקה". אברון מסביר את
שורשי הדיון הזה, את עמדות הצדדים שהיו מעורבים בו, ואת האופן שמשפטי גדל צמחו
מתוכו. הוא מתרכז בעיקר בצדדים הטכניים של הדיון, באמצעות הסברים ברורים
ונגישים. לעיתים, הוא מתבסס על הדיונים
הללו כדי לגלוש גם לנושאים בעלי אופי מעט יותר פילוסופי.
האתגר העיקרי העומד
בפני כל ניסיון לכתיבה מעין זו הוא השגת האיזון העדין והבעייתי שבין התייחסות
ראויה למורכבות של הרעיונות הנידונים בו לבין הצורך להיות נהיר לקהל רחב ככל
האפשר. אברון השכיל להתמודד עם האתגר הזה בדרך יעילה ומוצלחת. נכון הוא, שהמסגרת
המאלצת שמתוכה צמח הספר (שלוש-עשר הרצאות ששודרו בשעתן ב"אוניברסיטה
המשודרת") נותנת את אותותיה במידה מסוימת. כך למשל מתעורר הרושם שאברון היה
מעדיף אולי להקדיש למשפטי גדל עצמם יותר מקום ממה ששני הפרקים המוקדשים להם
מאפשרים לו. אלא שאין לשפוט ספר כזה על פי מה שהוא לא מתיימר להציע.
קוראים שהשקיעו את
המאמץ הנדרש לצורך הבנת תוכנו ומצאו שאין בספר די כדי להשביע את סקרנותם ימצאו גם
רשימה ביבליוגרפית מצורפת המפנה אותם לקריאות נוספות אפשריות. אם אברון השיג את מבוקשו, יכלו קוראים רבים לגשת
עתה אל הספרים הללו ולהפיק מהם מידה רבה של הבנה והנאה. ארשה לעצמי להוסיף כאן
פריט שלא נכלל ברשימתו של אברון ושלדעתי יכול להוות קריאת המשך למעוניינים: Gödel’s Proof”" מאת Ernst
Nagel ו-James
Newman (1958).
דר' ליאו קורי מלמד
היסטוריה ופילוסופיה של המדע באוניברסיטת תל-אביב. מאמרו "מתמטיקאים יהודים
בגרמניה: 1933-1894", ראה אור בגליון האחרון של זמנים (אביב 1999).